INDICE

ECUACIONES DIFERENCIALES
4.1 Teoria preliminar
4.1.1 Sistema de ecuaciones diferenciales lineales
4.1.2 Sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogeneas
4.1.3Solucion general y particular de EDL
4.2Metodos de solucion de EDL
4.2.1Metodos de los operadores
4.2.3utilidad TL
4.3Aplicaciones
CALCULO INTEGRAL 3.1 Áreas 3.1.1 Áreas bajo la grafica de una función 3.1.2 área entre la grafica de las funciones 3.2 longitud de curvas 3.3 Calculo de volúmenes sólidos de revolución 3.4 Calculo de centroides 3.5 Otras aplicaciones 4.1 Definición de serie 4.1.1 Finita 4.1.2 Infinita (criterio de D´Alembert) 4.2 Serie numérica convergencia 4.3 Serie de potencias 4.4 Radio de convergencia 4.5 Serie de Taylor 4.6 Representación de funciones por serie de Taylor 4.7 Cálculo de integrales expresadas como serie de Taylor

lunes, 30 de mayo de 2011

4.4 Radio de convergencia


En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n, con a_n,x,x_0\in\mathbb{R}, viene dado por la expresión:
R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |}
DEFINICION


Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n, con a_n,x,x_0\in\mathbb{R}, recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x − x0 | < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 − r, x0 + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x0, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de x, r = \infty \,\!













EJEMPLOS



Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.


Radio de convergencia finito

La función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia x − x0 = x − 0 = x, tiene el siguiente aspecto:
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+....
(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es r = 1. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al x0 = 0 es menor que r = 1, por ejemplo el x = 0.25, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho
\sum_{n=0}^\infty 0.25^n=1+0.25+0.25^2+0.25^3+...=\frac{4}{3}.
(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado
\frac{1}{1-0.25}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}.
Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el x = 2, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:
\sum_{n=0}^\infty 2^n=1+2+2^2+2^3+...=\infty.


Distancia a la singularidad

El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro x0 = 3 tiene la forma:
\frac{1}{1-x}=-\frac{1}{2}+\frac{x-3}{4}-\frac{(x-3)^2}{8}+\frac{(x-3)^3}{16}-....
Pero en este caso su radio de convergencia es r = 2. Notemos que la función 1 / (1 − x) tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: | 0 − 1 | = 1 y | 3 − 1 | = 2. Esto será siempre verdadero para ésta función, pero, no puede generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:
\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2}+\frac{(x-1)^2}{4}-\frac{(x-1)^4}{8}+\frac{(x-1)^5}{8}-...
Como no hay singularidades reales podría suponerse que el radio es infinito, sin embargo su radio de convergencia es r=\sqrt{2}/2. Este radio parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la función a dominio complejo, existe una singularidad en el denominador.La serie


Radio de convergencia infinito

Por ejempo, la función ex puede desarrollarse en series de potencia de x − 0 = x, de hecho e^{x}=\sum_{n=0}^\infty x^n/n!=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+....
y esto vale para todo real x por eso el radio de convergencia será infinito.



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viernes, 27 de mayo de 2011

4.5 serie de Taylor

SERIE DE TAYLOR

¿Qué es?
La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.

¿Para que sirve?
La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación.

Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...

¿Cómo funciona?
La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la siguiente:


o expresado de otra forma
Donde n! es el factorial de n
F(n) es la enésima derivada de f en el punto a

Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.

Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:


La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden.

Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.

El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos.

¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”?
La ecuación para el término residual se puede expresar como:
R_n = O(h^{n + 1} )
Significa que el error de truncamiento es de orden hn+1. El error es proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia.


Existen series de Taylor para:
  • Función exponencial
  • Logaritmo natural










  1. Exprese $ f(x) = \sqrt{1 + x}$ Como serie de Maclaurin.Solución: Hallamos las derivadas $ n$-ésimas $ f^{(n)}(x)$:
    $ f^{(0)}(x) = (1 + x)^{1/2}$.
    $ f^{(1)}(x) = (1/2)(1 + x)^{-1/2}$.
    $ \displaystyle f^{(2)}(x) = (-1) \frac{1}{2^2}(1 + x)^{-3/2}$.
    $ \displaystyle f^{(3)}(x) = (1) \frac{(1)(3)}{2^3}(1 + x)^{-5/2}$.
    $ \displaystyle f^{(4)}(x) = (-1) \frac{(1)(3)(5)}{2^4}(1 + x)^{-7/2}$.
    $ \displaystyle f^{(5)}(x) = (1) \frac{(1)(3)(5)(7)}{2^5}(1 + x)^{-9/2}$.
    A partir de estos resultados, queremos intentar hallar una fórmula para $ f^{(n)}(x)$, en términos de $ n$. ¿Cómo lo hacemos?
    En las anteriores derivadas hay expresiones que no cambian, y otras que van cambiando, que les damos nombres:
    $ \displaystyle f^{(n)}(x) = q_{n} \frac{(1)(3)(5)\cdots (r_{n})}{2^{s_{n}}}(1 + x)^{-t_{n}/2}$.
    [por ejemplo, $ q_{4} = -1$, $ r_{4} = 5$, $ s_{4} = 4$ y $ t_{4} = 7$].
    A partir de esto es fácil concluir que $ q_{n} = (-1)^n$ y $ s_{n} = n$.
    Para hallar $ r_{n}$ y $ t_{n}$ utilizamos el método de flechas, que consiste en organizar en dos columnas los valores de $ n$ y $ r_{n}$:


    \begin{displaymath}\begin{array}{lll} n & \longrightarrow & r_{n} \\ \par 2 & \... ...tarrow & 7 \\ \par 5 & \longrightarrow & 9 \\ \par\end{array}\end{displaymath}(1)


    Vemos que cuando $ n$ aumenta $ 1$, $ r_{n}$ aumenta $ 2$. De modo que $ r_{n} = 2n + k$. Por ejemplo $ 9 = r_{5} = 2(5) + k = 10 + k$, luego $ k = -1$.
    De modo que $ r_{n} = 2n - 1$.
    Similarmente por el método de las flechas se puede hallar $ t_{n}$ (hacerlo), y queda $ t_{n} = 2n - 3$.
    Resumuiendo, $ \displaystyle f^{(n)}(x) = (-1)^{n + 1} \frac{(1)(3)(5)\cdots (2n - 1)}{2^n}(1 + x)^{-(2n - 3)/2}$.
    Notamos que el análisis anterior sólo sirve para $ n \leq 2$. Así que:
    $ f^{(0)}(0) = 1$.
    $ f^{(1)}(0) = 1/2$.
    Si $ n \leq 2$, $ \displaystyle f^{(n)}(0) = (-1)^{n + 1} \frac{(1)(3)(5)\cdots (2n - 1)}{2^{n}(1 + 0)^{-(2n - 3)/2}} = (-1)^{n + 1} \frac{(1)(3)(5)\cdots (2n - 1)}{2^n}$.
    [Note que haber hallado $ r_{n}$ no fue en realidad necesario, pero sirve para practicar].
    La representación de $ f$ como serie de Maclaurin es:


    $\displaystyle f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{f^{(0)}(0) x^n}{n!} $

    Como $ 0! = 1! = 1$, $ f^{(0)}(0) = 1$ y $ f^{(1)}(0) = 1/2$, tenemos:


    $\displaystyle f(x) = 1 + x/2 + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{(-1)^{n + 1} (1)(3)(5) \cdots (2n - 1) x^n}{2^n n!} $

    Podemos hacer una simplificación notacional: Sabemos por ejemplo que $ 7! = (7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)$. Ahora, definimos $ 7(!!): = (7)(5)(3)(1)$, y en general,$ (2n + 1)(!!) := (2n + 1)(2n -1)(2n - 3)\cdots(5)(3)(1)$. Con esto, la respuesta queda:


    $\displaystyle f(x) = 1 + x/2 + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{(-1)^{n + 1} (2n - 1)(!!) x^n}{2^n n!} $

    bibliografia
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