INDICE

ECUACIONES DIFERENCIALES
4.1 Teoria preliminar
4.1.1 Sistema de ecuaciones diferenciales lineales
4.1.2 Sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogeneas
4.1.3Solucion general y particular de EDL
4.2Metodos de solucion de EDL
4.2.1Metodos de los operadores
4.2.3utilidad TL
4.3Aplicaciones
CALCULO INTEGRAL 3.1 Áreas 3.1.1 Áreas bajo la grafica de una función 3.1.2 área entre la grafica de las funciones 3.2 longitud de curvas 3.3 Calculo de volúmenes sólidos de revolución 3.4 Calculo de centroides 3.5 Otras aplicaciones 4.1 Definición de serie 4.1.1 Finita 4.1.2 Infinita (criterio de D´Alembert) 4.2 Serie numérica convergencia 4.3 Serie de potencias 4.4 Radio de convergencia 4.5 Serie de Taylor 4.6 Representación de funciones por serie de Taylor 4.7 Cálculo de integrales expresadas como serie de Taylor

viernes, 27 de mayo de 2011

4.5 serie de Taylor

SERIE DE TAYLOR

¿Qué es?
La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.

¿Para que sirve?
La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación.

Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...

¿Cómo funciona?
La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la siguiente:


o expresado de otra forma
Donde n! es el factorial de n
F(n) es la enésima derivada de f en el punto a

Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.

Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:


La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden.

Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.

El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos.

¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”?
La ecuación para el término residual se puede expresar como:
R_n = O(h^{n + 1} )
Significa que el error de truncamiento es de orden hn+1. El error es proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia.


Existen series de Taylor para:
  • Función exponencial
  • Logaritmo natural










  1. Exprese $ f(x) = \sqrt{1 + x}$ Como serie de Maclaurin.Solución: Hallamos las derivadas $ n$-ésimas $ f^{(n)}(x)$:
    $ f^{(0)}(x) = (1 + x)^{1/2}$.
    $ f^{(1)}(x) = (1/2)(1 + x)^{-1/2}$.
    $ \displaystyle f^{(2)}(x) = (-1) \frac{1}{2^2}(1 + x)^{-3/2}$.
    $ \displaystyle f^{(3)}(x) = (1) \frac{(1)(3)}{2^3}(1 + x)^{-5/2}$.
    $ \displaystyle f^{(4)}(x) = (-1) \frac{(1)(3)(5)}{2^4}(1 + x)^{-7/2}$.
    $ \displaystyle f^{(5)}(x) = (1) \frac{(1)(3)(5)(7)}{2^5}(1 + x)^{-9/2}$.
    A partir de estos resultados, queremos intentar hallar una fórmula para $ f^{(n)}(x)$, en términos de $ n$. ¿Cómo lo hacemos?
    En las anteriores derivadas hay expresiones que no cambian, y otras que van cambiando, que les damos nombres:
    $ \displaystyle f^{(n)}(x) = q_{n} \frac{(1)(3)(5)\cdots (r_{n})}{2^{s_{n}}}(1 + x)^{-t_{n}/2}$.
    [por ejemplo, $ q_{4} = -1$, $ r_{4} = 5$, $ s_{4} = 4$ y $ t_{4} = 7$].
    A partir de esto es fácil concluir que $ q_{n} = (-1)^n$ y $ s_{n} = n$.
    Para hallar $ r_{n}$ y $ t_{n}$ utilizamos el método de flechas, que consiste en organizar en dos columnas los valores de $ n$ y $ r_{n}$:


    \begin{displaymath}\begin{array}{lll} n & \longrightarrow & r_{n} \\ \par 2 & \... ...tarrow & 7 \\ \par 5 & \longrightarrow & 9 \\ \par\end{array}\end{displaymath}(1)


    Vemos que cuando $ n$ aumenta $ 1$, $ r_{n}$ aumenta $ 2$. De modo que $ r_{n} = 2n + k$. Por ejemplo $ 9 = r_{5} = 2(5) + k = 10 + k$, luego $ k = -1$.
    De modo que $ r_{n} = 2n - 1$.
    Similarmente por el método de las flechas se puede hallar $ t_{n}$ (hacerlo), y queda $ t_{n} = 2n - 3$.
    Resumuiendo, $ \displaystyle f^{(n)}(x) = (-1)^{n + 1} \frac{(1)(3)(5)\cdots (2n - 1)}{2^n}(1 + x)^{-(2n - 3)/2}$.
    Notamos que el análisis anterior sólo sirve para $ n \leq 2$. Así que:
    $ f^{(0)}(0) = 1$.
    $ f^{(1)}(0) = 1/2$.
    Si $ n \leq 2$, $ \displaystyle f^{(n)}(0) = (-1)^{n + 1} \frac{(1)(3)(5)\cdots (2n - 1)}{2^{n}(1 + 0)^{-(2n - 3)/2}} = (-1)^{n + 1} \frac{(1)(3)(5)\cdots (2n - 1)}{2^n}$.
    [Note que haber hallado $ r_{n}$ no fue en realidad necesario, pero sirve para practicar].
    La representación de $ f$ como serie de Maclaurin es:


    $\displaystyle f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{f^{(0)}(0) x^n}{n!} $

    Como $ 0! = 1! = 1$, $ f^{(0)}(0) = 1$ y $ f^{(1)}(0) = 1/2$, tenemos:


    $\displaystyle f(x) = 1 + x/2 + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{(-1)^{n + 1} (1)(3)(5) \cdots (2n - 1) x^n}{2^n n!} $

    Podemos hacer una simplificación notacional: Sabemos por ejemplo que $ 7! = (7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)$. Ahora, definimos $ 7(!!): = (7)(5)(3)(1)$, y en general,$ (2n + 1)(!!) := (2n + 1)(2n -1)(2n - 3)\cdots(5)(3)(1)$. Con esto, la respuesta queda:


    $\displaystyle f(x) = 1 + x/2 + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{(-1)^{n + 1} (2n - 1)(!!) x^n}{2^n n!} $

    bibliografia
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